این مسئله به قوانین مقاومت و طول سیمهای رسانا مربوط است. فرض کنید سیم اولیه دارای طول \( L \)، مقاومت \( R \)، و سطح مقطع \( A \) باشد. مقاومت سیم با رابطهی زیر داده میشود:
\[ R = \rho \frac{L}{A} \]
که در آن \( \rho \) مقاومت ویژهی ماده است.
اگر سیم را ذوب کنیم و به اندازهای مس به آن اضافه کنیم تا سیم جدید طولی \( nL \) داشته باشد، و مقاومت آن برابر با مقاومت اولیه \( R \) باشد، باید تغییرات را از نظر سطح مقطع و جرم بررسی کنیم.
برای سیم جدید:
\[ R' = \rho \frac{nL}{A'} = R = \rho \frac{L}{A} \]
با مساوی قرار دادن مقاومتها:
\[ \frac{nL}{A'} = \frac{L}{A} \]
\[ A' = nA \]
حجم سیمها برابر است و چون سیم جدید longer است، سطح مقطع بزرگتری نیاز دارد تا مقاومت ثابت بماند. بنابراین:
\[ nAL = A'L' \]
\[ nAL = nAL \]
حال، برای مقدار مس اضافه شده، حجم اولیه سیم برابر است با \( AL \) و حجم سیم جدید برابر است با \( \frac{A'}{A} \times AL = nAL \).
بنابراین، مقدار مس اضافه شده برابر است با:
\[ nAL - AL = (n-1)AL \]
این نشان میدهد که ما به اندازهی \( n^2 \) برابر مقدار مس اولیه اضافه کردهایم.
بنابراین، پاسخ صحیح گزینهی 3 (\( n^2 \)) است.
